Τεχνάσματα για να υπολογίζουμε τα γινόμενα στην προπαίδεια.
Μαθηματικά, για γονείς της Τρίτης.
Αγαπητέ γονέα,
ένας μαθητής της τρίτης δημοτικού θα πρέπει να μπορεί ήδη να ανεβαίνει τους αριθμούς ανά 10, 20, 30, 40, 50 όχι μόνο στην πρώτη εκατοντάδα αλλά και πιο πάνω.
Για να γίνει αυτό χρειάζεται εξάσκηση, όπως επίσης πρέπει ο μαθητής να έχει αντιληφθεί την αναλογία: 2+2=4 άρα 20+20=40
γιατί αν το 2 είναι δεκάδες, τότε: 2 δεκάδες + 2 δεκάδες = 4 δεκάδες δηλ. 40 .
Ζητήστε από το παιδί σας να απαγγέλλει φωναχτά διψήφιους και τριψήφιους αριθμούς που του δίνετε εσείς γραμμένους σε ένα χαρτί, παράδειγμα 59, 67, 235 κλπ.
Αντίστροφα μπορείτε να του ζητήσετε να γράφει σε ένα χαρτί αριθμούς που του λέτε εσείς.
Τα παιδιά γνωρίζουν ήδη την αξία των ψηφίων ενός αριθμού. Για παράδειγμα, όταν ακούν τριακόσια πενήντα έξι, γράφουν 356 και γνωρίζουν πως:
- Ο αριθμός τριακόσια σημαίνει 3 εκατοντάδες ή 300
- Ο αριθμός πενήντα σημαίνει 5 δεκάδες ή 50 και
- Ο αριθμός έξι σημαίνει 6 μονάδες
Κάθε ένας από αυτούς γράφεται στη σωστή θέση: 356 .
Το 356 είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης των «κομματιών» του αριθμού, 300+50+6.
Οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις με το νου δε γίνονται όπως τις κάνουμε κάθετα.
Στην πρόσθεση και την αφαίρεση χρησιμοποιούμε το ενδιάμεσο σκαλοπάτι της επόμενης δεκάδας ή της προηγούμενης.
Παράδειγμα:
18+7, σκεφτόμαστε 18+2+5 γιατί από το 18 στο 20 μεσολαβούν 2 βήματα και μας απομένουν ακόμη 5.
Αν η πρόσθεση ήταν:
38+17, σκεφτόμαστε 38+10=48 48+2=50 50+5=55
Δεύτερος δρόμος είναι να προσθέσει ο μαθητής δεκάδες με δεκάδες και μονάδες με μονάδες και στη συνέχεια να βρει το συνολικό άθροισμα.
38+17, 30+10=40 8+7=15, 40+15=55
Ανάλογα μπορεί ο μαθητής να σκεφτεί και στην αφαίρεση.
Παράδειγμα:
73-27
Η προπαίδεια είναι απαραίτητη στα μαθηματικά, σε όλες τις τάξεις που ακολουθούν. Η συχνή επανάληψη θα βοηθήσει το μαθητή να έχει άνεση. Καλό είναι το παιδί να ανακαλύπτει σιγά σιγά και εναλλακτικούς τρόπους εύρεσης του αποτελέσματος ενός γινομένου αριθμών.
Για παράδειγμα κάποιοι τρόποι:
4Χ30, σκεφτόμαστε 2Χ30=60 και 2Χ30=60, 60+60=120 ή
4Χ30 είναι, 4 φορές από 3 δεκάδες= 12 δεκάδες ή 120
4Χ32, σκεφτόμαστε: 4Χ30=120 και 4Χ2=8, 120+8=128
Το τελευταίο παράδειγμα προϋποθέτει πως το παιδί γνωρίζει το γινόμενο 3Χ40. Αν όχι θα πρέπει να επιμείνουμε στα προηγούμενα.
Ζητάτε πάντα από το παιδί να σας εξηγεί τη σκέψη του. Τι έπρεπε να βρει; Πώς σκέφτηκε μια λύση; Ποια βήματα ακολούθησε; Γιατί διάλεξε κάποιον τρόπο; Μήπως θα μπορούσε να ακολουθήσει κάποιον άλλο;
Κάντε αυτές τις ερωτήσεις ακόμη κι αν διάλεξε λάθος τρόπο να λύσει την άσκηση ή αν βρήκε λάθος αποτέλεσμα. Μη βιαστείτε να το διορθώσετε. Θα μάθει μόνο αν καταλάβει «το δρόμο» που διάλεξε.
Πολλές φορές τα παιδιά έχουν τους δικούς τους «περίεργους» τρόπους να σκέφτονται και να εκτελούν πράξεις. Δεν απαγορεύουμε κανέναν τρόπο. Δείχνουμε κάποιους που είναι ευκολότεροι και που θα βοηθήσουν μελλοντικά το παιδί. Συχνά οι μαθητές εκτελούν πράξεις και βρίσκουν σωστό αποτέλεσμα, δίχως όμως να κατανοούν τι ακριβώς κάνουν. Προσπαθήστε να διακρίνετε αν κατέχει τους μηχανισμούς εκτέλεσης μιας πράξης, αν κατανοεί ό,τι κάνει, αν διαλέγει το σωστό δρόμο για να λύσει ένα πρόβλημα. Μπορεί ένα λάθος αποτέλεσμα να οφείλεται σε μια μικρή απροσεξία.
Η προπαίδεια του 2
Πρόσθεση και αφαίρεση.
Τις πιο πολλές φορές είμαστε ικανοποιημένοι όταν το παιδί μας εκτελεί μια πράξη στο χαρτί, εφαρμόζοντας τον κλασικό τρόπο της κάθετης πράξης – τον αλγόριθμο.
Συχνά όμως, παρ΄ όλο που το αποτέλεσμα είναι σωστό, δυσκολεύεται να εξηγήσει τι ακριβώς κάνει. Γι΄ αυτό υποστηρίζουμε πως πρέπει να προηγούνται οι νοεροί υπολογισμοί. Να κατακτήσει το παιδί τις έννοιες των αριθμών και των πράξεων. Να πειραματιστεί με τρόπους. Και στις μικρές ηλικίες οι αφηρημένοι αριθμοί είναι κάτι δυσνόητο. 5 πορτοκάλια καταλαβαίνουμε τι σημαίνει, αλλά 5 δίχως αντικείμενο να ακολουθεί τον αριθμό;
Η αριθμογραμμή είναι ένα καλό εργαλείο για να περάσουμε σιγά σιγά στην αφηρημένη αξία των αριθμών. Μια μεζούρα ή ένα μέτρο αρκεί.
Ακολουθούν δύο παρουσιάσεις.
Εξηγήσεις για τα μαθηματικά της Ε τάξης.
Κριτήρια διαιρετότητας
Πώς και γιατί διαιρείται με το 3 ένας αριθμός;
Πώς και γιατί διαιρείται με το 4;
Αφαίρεση δεκαδικών
ή «ένα που δανειστήκαμε»
Πολλαπλασιασμός δεκαδικού με δεκαδικό.
Χρησιμοποιούμε το μοντέλο των εμβαδών. Παρακολούθησε το βίντεο.
Τώρα κάνοντας κλικ στην εικόνα, μπορείς να δοκιμάσεις κι εσύ να πολλαπλασιάσεις τους δικούς σου αριθμούς. Διάλεξε ποιους θέλεις, μετακινώντας τον άσπρο δείκτη πάνω δεξιά.
Πολλαπλασιάζουμε δεκαδικό με ακέραιο.
Το μυστικό της μιας «θέσης αριστερά» στον πολλαπλασιασμό πολυψήφιων αριθμών.
Μεικτοί και καταχρηστικά κλάσματα.
Η εξήγηση της απλοποίησης κλασμάτων.
Ας μοιραστώ μια σοκολάτα, όχι … ακριβώς στη μέση.
Πόσα κομματάκια πήρα;
Ας τα κάνω τριάδες. Τελικά τι πήρα και τι έδωσα;
Κι όλα αυτά δουλεύοντας με κλάσματα:
Διαίρεση ομώνυμων κλασμάτων.
Διαίρεση ακεραίου με ένα κλάσμα.
Πόσες φορές χωράει άραγε το μισό στο ολόκληρο; Για παράδειγμα το ½ στο 1 ή το ⅓ στο 6;
Διαίρεση κλάσματος με ακέραιο.
Μπορεί να χρειαστεί να μοιράσουμε ένα κομμάτι μιας ολόκληρης ακέραιας μονάδας σε καινούρια κομμάτια. Να μοιραστούμε για παράδειγμα ένα κομμάτι σοκολάτας, αφού έχουμε ήδη φάει ένα τμήμα από την ολόκληρη, με έναν φίλο μας.
Αντίστροφοι αριθμοί
Για εξάσκηση στον πολλαπλασιασμό κλασμάτων, κάνε κλικ πάνω στην εικόνα:
Πολλαπλασιάζουμε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα.
Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό δύο κλασμάτων.
Η διαίρεση ως κλάσμα
Η αναγωγή στην κλασματική μονάδα
Παίζοντας με το τάνγκραμ.
Μπορείτε να τυπώσετε και να κόψετε το σχήμα. Ή πάλι μπορείτε να κόψετε το σχήμα του τάνγκραμ που βρίσκεται στο τέλος του βιβλίου σας.
Πατήστε στην εικόνα για να δείτε μια συλλογή με φιγούρες. Μπορείτε να προσπαθήσετε να τις φτιάξετε κι εσείς!
Πρόσθεση με υπέρβαση.
Ξεκινάμε με την προπαίδεια.
Μόνο το άκουσμα της λέξης “προπαίδεια” δημιουργεί άγχος σε πολλά παιδιά, αλλά και σε γονείς.
Όλοι θυμόμαστε τους πίνακες με τους πολλαπλασιασμούς που έπρεπε να μάθουμε απέξω. Επανάληψη και πάλι επανάληψη. Κι όταν κάποιος μας ρωτούσε ένα τυχαίο γινόμενο ξαναπιάναμε με τη σειρά την προπαίδεια για να το βρούμε. Η απαγγελία της προπαίδειας δεν έχει καμία σχέση με τη μαθηματική σκέψη.
Τι σημαίνει τελικά μαθαίνουν την προπαίδεια;
Οι απόψεις έχουν λίγο διαφοροποιηθεί τα τελευταία χρόνια. Πρακτικά τι σημαίνει αυτό; Λιγότερη επιμονή στο να την “λέει απ΄ έξω” και περισσότερη κατανόηση των πολλαπλασιασμών, με ταυτόχρονη ανάπτυξη της ικανότητας να κάνει συνδυασμούς. Κάτι που θα βοηθήσει συνολικά την ανάπτυξη της σκέψης.
Η ικανότητα να τη λέει απέξω βοηθά το παιδί να κάνει γρήγορα τους υπολογισμούς και να κερδίζει χρόνο, όμως δεν αρκεί.
Ας σκεφτούμε το παράδειγμα 2Χ47. Για να κάνει το παιδί νοερά τον πολλαπλασιασμό δεν αρκεί να “λέει” την προπαίδεια. Πρέπει να μπορεί να “μεταφέρει” την γνώση του σε ένα δυσκολότερο επίπεδο.
Πολλοί από σας αναλαμβάνετε το ρόλο να διδάξετε στο παιδί σας στο σπίτι την προπαίδεια.
Βήματα που προτείνουμε.
Τα παιδιά πρώτα πρέπει να καταλάβουν τι είναι τελικά ο πολλαπλασιασμός και η προπαίδεια.
Στη συνέχεια κατακτούν και χρησιμοποιούν στρατηγικές για να βρουν κάποιο γινόμενο. Ένα απλό παράδειγμα: Υπολογίζουν το 5Χ5, αν προσθέσουν στο 4Χ5 ακόμη ένα 5.
Επιδιώκουμε να μάθουν αρχικά τα βασικά γινόμενα. Την προπαίδεια του 2, του 5, του 10.
Ζητάμε να κάνουν υπολογισμούς με παραδείγματα από την καθημερινότητα, κάποιες φορές σαν παιχνίδι.
Στο τέλος τα παιδιά αυτοματοποιούν την ικανότητά τους να λένε την προπαίδεια απ’ έξω.
Η “δέκατη” επανάληψη προσφέρει μόνο νεύρα και απογοήτευση.
Ακολουθούν δύο σύντομα βίντεο κατανόηση του πολλαπλασιασμού.
Ποσά ανάλογα και αντιστρόφως.
Αντιστρόφως ανάλογα ποσά
[youtube HoTumIBI8Jw]
———————————————————————————————
Ανάλογα ποσά
[youtube tEbqnv2ztvw]
Ακόμη μια φορά
[youtube Mae2kiU5Qzk]
———————————————————————————————